Hello大家好，这里是锐腾君。锐腾君在今年6.11参加了中国科学技术大学的笔试，现在将数学题目回忆出来给大家，并且附上个人解析。

真题回忆

填空题（每题5分，共40分）

1.平面区域 的面积是_____

2. 在 之间所有根之和为_____

3.已知平面直角坐标系上有三点 ，则 面积的最小值为_____

4.记 ，则 的最大值为_____

5.设点 ， 绕 顺时针旋转 得到向量 ， 关于 轴对称点记为 ，则 的坐标为_____

6.若 ，则 _____

7. ，且 是纯虚数，则 的最小值是_____

8.已知 ，且 _____

解答题（每题20分，共60分）

9.将 的各中点连线，折成四面体 ，已知 ，求四面体 的体积。

10.求证：对于任意的 在 上仅有一个解

11.已知

(1).求证：存在多项式 ，满足

(2).将 在 上完全分解

真题解析

1.平面区域 的面积是_____(答案: )

通过画图，易知该平面区域的图形是个平行四边形

平面区域围成图形

其中 ，易求得

故区域面积

2. 在 之间所有根之和为_____(答案: )

首先结合图示说明

红色曲线为y=sin 2x,蓝色曲线为y=-cos 3x

我们可以证明 是关于 对称的， 是关于 对称的，那么

我们再给出一个三角学的说明，

这表明，原方程的根的分布为

①.

②.

利用“36°黄金三角形”的各种相似，我们知道

综上，

3.已知平面直角坐标系上有三点 ，则 面积的最小值为_____ (答案: )

利用平均值不等式，我们知道

故

4.记 ，则 的最大值为_____ (答案: )

首先，令 ，则 ，

因此，其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆

故

5.设点 ， 绕 顺时针旋转 得到向量 ， 关于 轴对称点记为 ，则 的坐标为_____(答案： )

进行实际操作，则

注意到 重合，因此所有操作以 为周期，故

事实上， 的重合是必然的，并不依赖于 的坐标和 的大小，下面我们来证明这一事实。

首先，我们刻画 到 这个变换，记 ，则

综上，知

那么 满足

这也就说明了重合。

我们也可以采用复数证明这个事实，它甚至更加简洁：

设 在复平面上对应复数 ，那么 对应

则 对应

所以 对应

6.若 ，则 _____(答案: )

首先将递推公式两侧取倒数，则

累加，即

裂项求和，则

7. ，且 是纯虚数，则 的最小值是_____(答案: )

如图所示，我们定义a~b表示复数 与 之间的边

是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1

故 ，进一步，我们设

则

等号成立条件为 ，此时 ，即 是纯虚数。

8.已知 ，且 _____(答案: )

不妨设 ，由题意，知

将第二式与第一式作比，知 ，故

而 ，知 和

代入第二式

因此 ，进而 ，

故第一式仅有一组解：

将其代入第二式，立得

利用第三式检验，发现上解符合题意

故

9.将 的各中点连线，折成四面体 ，已知 ，求四面体 的体积。(答案： )

简解：由题意，易知四面体 为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可

图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体

10.求证：对于任意的 在 上仅有一个解

首先，我们定义 代表函数 的 阶导数

令

注意到 在 上单调递增，故其在 上仅有一根 ，从而

在 上有最小值，即

进而 在 上单调递增

以此类推，可知：

在 上单调递增，且仅有一根

在 上先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根

综上，不论 取何值， 在 上仅有一根

第11题考察内容十分清晰，本题旨在考察Chebyshev多项式

11.(1).已知 ，求证：存在多项式 ，满足

采取归纳法证明，若对于不同的 ，存在满足题设的多项式，则记其为

首先，当 时，存在多项式

其次，当 时，存在多项式

我们假定命题在 的情形下成立，下面考察 的情形

进而有

即

因为 都是多项式，所以 也是多项式。

取 ，命题得证。

11.(2).将 在 上完全分解

首先我们求出 在 上的根

由于

易证

利用代数基本定理，从而 在 上至多 个根

设其任意一个根为 ，满足

从而 ，当 遍历 时，对应的 各不相同

即 是 在 上的 个根，亦即所有根。

我们再考虑 的 次项系数，记为

由(1)中递推关系，知

故

我们利用三角函数周期性，让它长得好看点，也就是

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